摘要：伊辛模型 (Ising model)是统计力学中的一个铁磁体模型，它将研究系统视为一系列的点阵，每个点阵上赋予 1，-1两种可能取值，分别表示电子自旋向上和向下。毕业设计的主要内容是研究铁磁相变的Ising模型通过蒙特卡洛模拟从一维到二维的演化过程。而本篇开题报告，将主要介绍相变理论的现代解释、蒙特卡洛（Monte Carlo）算法，以及伊辛模型 (Ising model)。
关键词：铁磁相变; 蒙特卡洛模拟; Ising模型
1 引言
Ising模型首次由楞次在1920年提出[1]，用以解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变。Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。而当系统处于临界温度的时候，Ising模型表现出一系列幂律行为和自相似现象。
1925年，楞次的学生Ising在只考虑最近邻原子相互作用的简化下，给出了一维Ising模型的解析解[2]。对于一维Ising模型而言，系统不存在相变。1944 年，Onsager考虑了无外磁场作用下的二维正方晶格Ising模型，并给出了解析解。Onsager表明Ising模型的相关函数和自由能由非相互作用的晶格费米子决定。Onsager[3]在1949年宣布了二维模型的自发磁化公式，但未给出推导。1952年，C.N.Yang和T.D.Lee[4]两人首次发表了该公式的证明。二维Ising模型中，系统存在相变。Rudolf Peierls[5]在1936年首次证实证明了Ising模型在2维或更多维中经历有序相和无序相之间的相变。更一般地，系统对于小beta;是无序的，而对于大beta;，系统表现出铁磁有序：。
对于高维的Ising模型，我们通常采用平均长近似。或者是存在外界磁场时，Ising模型通常是不容易求解的。此时，我们通常可以采用蒙特卡罗方法对系统进行数值模拟[6]。其中最常用的抽样方法则是Metropolis-Hasting抽样方法。将Ising模型视为Markov过程，考虑其各态历经的情况。
2 相变理论
一个系统均匀的部分称为一个相。而不同相进行转变的时候（比如固相、液相和气相之间的转变），存在相变潜热L=T（s（2）-s（1））和体积突变，而且还可能出现亚稳态，这是第一类相变。而还有另外一类相变，在转变时既无潜热又无体积突变。例如液-气通过零界点的转变、铁磁顺磁的转变等等。1933年爱伦费斯特[7]（Ehrenfest）将第一类相变进行分类，将相变点两相的化学势连续，但化学势的一阶偏导数存在突变：
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