Jensen不等式及其应用文献综述

 2022-07-22 01:07

概述:

Jensen不等式是丹麦数学家Johan Jensen于1905年首次用不等式定义了凸函数,它将积分的凸函数的值跟凸函数的积分联系起来给出他们之间的关系。

凸理论基础囊括甚多,有关其凸性的研究可追溯到十八世纪中叶,时至今日凸函数已经是现代数学中最广泛应用的概念之一,其概念与方法在不同的各个分支中找到了很多应用:极值问题的理论,概率密度函数的形式以及数理统计等等不胜枚举,二十世纪中后期,数学界对凸函数进行了广泛深入的研究,其凸性作为证明不等式的重要工具备受关注。[2]

众所周知不等式一直是极其充满活力的研究领域,在上世纪九十年代,关于不等式的研究异常活跃,其深度与广度都有长足的进步,尤其是自二十世纪五十年代剑桥大学出版社的名著《Inequalities》出版,其标志着数学界不等式理论的成熟。[3]

通过大量的文献得知,人们对凸函数的概念做了很多推广:对数凸,类可凸,几何凸函数,平均凸函数,理想凸函数等等,而有趣的是,几乎每一种凸概念都有着与之对应的Jensen不等式。

近百年来,人们对Jensen不等式的研究主要有:反向Jensen不等式,保序线性泛函的Jensen不等式等,而且进一步将Jensen不等式的定义从区间推广到抽象测度空间,Hilbert空间等,进而得到了各种形式的Jensen不等式。

一直以来,与凸函数有关的不等式研究都在数学基础理论和应用中有着非常明显的作用,Jensen不等式作为凸函数重要的经典范例,有着其自身广泛的作用。Jensen不等式随着凸函数的出现而出现,并跟随着凸函数一起发展,凸函数的基础理论与很多重要研究应用都是通过Jensen不等式而得以实现,另一方面,凸函数的凸性与其自身的定义是建立在不等式基础上的这一点,使得凸函数成为了证明不等式的重要工具,由此而发展推广了大量的不等式并始终是数学界研究的热点问题。

参考文献:

[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.

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