利用几何思想证明不等式
摘要：作者主要介绍的是利用几何思想证明不等式。不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分。因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来。而不等式的证明是高中数学的一个难点，其题型广泛、方法灵活、涉及面广，是历届高考中的热点问题。其实在不等式的证明中，只要认真的观察和分析不等式以及已知条件的含义，通过构造和联想与猜想，与相关知识的结构融合，对已知条件和证明的不等式进行合理的几何含义表征，就会找到以形助数的方法进行证明.
关键词：不等式； 几何图形； 证明； 构造法；
华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时少入微。”数与形是客观事物的两个不可分离的数学表象，它们各自有特定的含义，但它们之间又相互渗透，相辅相成，在一定条件下可以相互转化[1]。不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分。因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来。而不等式的证明是高中数学的一个难点，其题型广泛、方法灵活、涉及面广，是历届高考中的热点问题[2]。
比较典型的不等式有：柯西不等式、几何平均不等式、基本不等式等。在高中的数学学习中要解决一个不等式组是一件很繁琐的事情，若式子越多就越不容易解决，因此构造几何图形去解不等式既方便又直观的一种方法。不等式的证明方法很多，有时使人觉得扑朔迷离、无从下手或证法太繁。而构造几何图形证明不等式，却是十分巧妙且有效的方法，也体现了数形结合的优越性。一些代数不等式,用代数方法证明是较卿住的,但若根据题设条件构造几何图形，运用几何方法，往往会得到巧妙直观竺件明。
1、不等式证明的发展历史
数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。目前,对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。
在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件，分别是: Chebycheff 在 1882 年发表的论文和 1928 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中对不等式的哲学 (philosophy) 给出了有见地的见解：一般来讲初等的不等式应该有初等的证明，证明应该是“内在的”，而且应该给出等号成立的证明。A. M.Fink认为，人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式。Hardy认为，基本的不等式是初等的自从著名数学家 G. H. Hardy，J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来，数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场，成为一门新兴的数学学科，从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合，它已发展成为一套系统的科学理论。
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