代数基本定理证明方法研究
摘要：本文从复变函数理论、拓扑学、概率论、初等方法和构造性证明等多个角度，归纳总结了代数基本定理的证明思想。第一部分总结了从复变函数的角度运用了柯西定理、刘维尔定理、鲁歇定理、最大模原理、对数残数原理、幅角原理来证明代数基本定理，并对这些方法进行了比较和整合，分析这些方法的内在逻辑和它们蕴含的数学思想。第二部分以拓扑学的角度，以不动点理论和连续映射为理论基础，拓展了代数基本定理的几何内涵。第三部分首先从概率论的角度简单说明了代数基本定理和概率部分的联系，丰富了代数基本定理的适用范围。最后一部分则从初等方法和构造性证明这两个层面介绍代数基本定理。
关键词：代数基本定理；复变函数；拓扑学
一、代数基本定理的证明
代数基本定理对于代数方程乃至代数学的发展都具有重要的价值和意义。代数基本定理在整个数学发展中起到基础的作用，关于其证明方法大约有200种。代数基本定理保证了根的存在性。
在骆顺龙文章[1]中，从概率论的知识出发，利用局部鞅的随机时刻变换以及随机过程中的复Brown运动给出了代数基本定理的一个简洁的证明。
反证法[2]：传统的证明方法，通过证明在复平面上有界，使用刘维尔定理从而得到恒为常数，与已知矛盾，进而证明代数基本定理。利用刘维尔定理可以采用反证法或者构造辅助函数的方法加以证明，思路经典巧妙，并且证明思路十分简洁。
从幅角原理的角度[3]：容易注意到的全部根都在半径充分大的圆盘之内，利用幅角公式可以计算出来根的个数恰好为n。从鲁歇定理的角度[3]：主要利用n次多项式零点与主项具有相同的零点，进而推出n次多项式具有n个零点。从对数残数定理的角度[3]：利用了我们可以计算出在无穷远点的留数，我们发现无穷远点为的可去奇点，进而可以得到在复平面上只有n个根。利用平均值定理作为引理，使用最大模原理[3]，得到了系数趋近于无穷的矛盾，从而证明了在复平面上有n个零点。最大模原理深刻体现了解析函数的性质，运用此定理证明相对于其他方法也便于读者接受。同理我么也可以用最小模原理来证明代数基本定理。结合线性代数和柯西积分定理，为了证明每一个n次复系数多项式都有一个根，因此只需证明每一个方块矩阵都有一个复数特征值，因此构造特殊的辅助函数得出与柯西积分定理矛盾的积分值。另外，留数定理可以计算出解析函数沿着任一闭曲线的积分值，是解决积分问题的有力工具，因此可证明代数基本定理。
代数基本定理本质用了柯西定理推导出来的刘维尔定理，但是格林定理可以推导出柯西定理，因此证明代数基本定理只需要利用格林定理[4]就足够了，不需要任何拓扑知识或者复变函数的理论。
以上是毕业论文文献综述，课题毕业论文、任务书、外文翻译、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
