显微CT不规则旋转轨迹下的几何校准方法研究文献综述

1. 文献综述（或调研报告）：

锥束CT的校准算法主要可以分为在线校准和离线校准两个方向，在线校准即通过被扫描物体本身进行校准，例如Gross D等人的工作[10]；离线校准算法假定系统足够稳定以至于几何误差不会随着时间而变化，这样可以在扫描前通过特殊模体进行校准，方便而且准确性高。本课题主要研究离线校准方法。根据校准的思路可以分为基于轨道先验的整体校准方法和基于复杂模体的单视图全参数估计的校准算法；根据参数估计的方式又可以分为空间几何解析法、冗余数据分析法和参数优化方法。

使用空间几何解析方法的校准算法在CT系统中获得了广泛的应用。Fracute;edacute;eric Noo等人[2]证明了对于常规圆轨道的锥束CT系统，其在有几何误差的系统中投影轨迹是一个椭圆，这是很多校准算法的基础。接下来，他们提出了一种基于椭圆参数识别的解析式算法。在他们的工作中，使用两个不在同一平面的、关于旋转轴呈对称分布的小球作为模体。假设探测器平面平行于旋转轴，考虑估计以下参数：探测器平面内旋转角与垂直偏角；源经过旋转中心到探测器的投影交点，；圆轨迹半径R,同时可以得出两个球模体的位置 和。文章的基本思路是，先根据相对（模体点关于旋转中心对称）位置的投影计算，，其中 为相对位置投影坐标；之后将投影点位置映射到的平面，并在该平面进行椭圆投影轨迹的拟合：

最后由投影矩阵计算模体点到投影点的映射关系方程。考虑到映射过后椭圆投影轨迹等效，因此椭圆参数相等，进而解出各个校准几何参数。

使用类似方案的还有Kai Yang等人[8]的工作，其利用同平面不同半径的两个模体小球；

Von Smekal L等人[3]同样使用两个小球模体的解析化算法，不同之处在于其两个小球需要在同一个平面上。通过巧妙地使用傅里叶变换的分析方法，该算法可以快速地针对大量数据，因此有效减小了误差；同时，考虑到有小球位置关系的新约束，该算法可以计算探测器平面内旋转角、水平偏角与垂直偏角。

Sun Y等人[4]的工作则更进一步。他们使用一种四点校准模体，要求测量模体点之间的距离l和源到旋转中心的距离f。之后，首先计算4个投影点的坐标；然后可以计算由四个投影点构成的矩形的投影形状；由几何关系可以得出水平偏角与垂直偏角的参数估计；此时可以将原始投影映射到与的过渡平面上。此时可以利用放缩关系获得z方向（此处指出示时源-理想探测器方向）上的偏移量dZ;再一次化简映射投影点到新的过渡坐标系中，可以得出探测器在x、y方向的偏移量dX,dY和探测器平面内旋转角。该方案的特色在于可以在一次投影中获得全部的参数。

Sun Y等人的方法有一个缺陷，即需要精确测量轨道半径，这在某些CT系统中是较为困难的。Cho Y等人[5]的方案更加具有普适性。在他们的工作中，使用了一种24球模体，模体分为上下两层，每层沿着同圆心等半径的圆环分布着12个球模体，如图3-1(a)(b)所示；

图3-1(a)(b)

这种模体的优势在于可以同时具有三种条件约束，分别是3-1(c)(d)(e);首先可以通过拟合椭圆投影线获得；这种情况可以计算出垂直偏角的正弦值；之后通过线性插值的方法可以从图3-1(c)(d)(e)的结构中获得源经过旋转中心到探测器的投影交点，；此时，可以由3-1 (d)(e)的结构中取四个点获得一个切面，切面在探测器的投影的边相交于一个特殊交点。利用该特殊交点，可以计算出探测器平面内旋转角，进而得到水平偏角与垂直偏角。同样利用切面，可以获得源坐标和探测器坐标;使用这样的方法，可以一次性获得全部参数，不需要轨道形状几何关系作为先验，很适合用于不规则轨道的校准。其误差可以表示为

其中为模体点位置的几何误差， 为第i个点的投影位置。

以上均为解析方法的几何校准过程。解析方法的一个优势是计算量小，可以方便地使用；复杂模体的使用带来了额外的几何约束，对模体本身要求高。

另外一种校准思路是直接参考投影过程，使用优化方法进行校准。Luo等人[6]的工作中，设计了一种利用简单单球模体的校准算法。该算法中，将探测器到旋转轴的距离作为放大倍率忽略，因此一共校准六个参数：探测器平面内旋转角、水平偏角与垂直偏角；源经过旋转中心到探测器的投影交点，；圆轨迹半径sdd;首先建立包含各个参数的坐标变换矩阵R,可以将探测器上投影点映射到每个角度的地面坐标系中，此时源坐标和投影点坐标的连线可以视为投影线；考虑得理想情况下投影线的交点应当交汇于模体点，而模体点坐标未知；因此构建虚拟交点为每两条投影线的公垂线的中点，并构造代价函数,其中p为投影点，为旋转角度，为几何校准参数，M为虚拟交点。

这样之后，利用单纯形-模拟退火结合算法，搜索使得代价函数最小的参数为校准参数估计。这种方法模体简单，精确度高，便于在高精度CT上使用；但是计算量大，时间较长；另外要求轨道先验。

另一种利用优化的算法是利用正弦图中的冗余信息，例如Panetta D等人的工作中，利用投影正弦图在相位差180°时积分的特性进行校准。

几何校准的结构最后需要通过重建来验证。对于普通圆轨道锥束CT,常见的重建方案可以选择迭代重建或者Feldkamp算法；其中，fdk算法由于其便捷、计算量小、便于并行化的优势，广泛应用于各种锥束CT设备中。当应对非标准圆轨道，重建算法也需要进行修改。

Wang G等人在文章《A general cone-beam reconstruction algorithm》[7]中指出，尽管fdk算法在数学上是近似的，其重建结果可以令人满意。如果扫描轨迹满足某些条件，可以获得更好的效果。首先，平面扫描轨迹可以保证平面内重建的精确。其次，重建图像的垂直积分等于实际图像的垂直积分。另外，如果实际图像与旋转轴坐标z无关，则重建是精确的。在该文章中，还推导了通用的轨道重建公式：

其中g为重建图像，f为投影图，为轨迹的极坐标表示。通过这样的方式，可以对非标准圆轨道进行重建。

本课题需要对现有的成熟校准算法进行改进，因此需要评估不同校准算法在高分辨显微CT中的效果；最后需要进行重建验证，利用以上文献的结论。